[백준] 10844번 - 쉬운 계단 수

백준 10844번 쉬운 계단 수

1. 문제

https://www.acmicpc.net/problem/10844

 

어떤 수의 인접한 자리의 차이가 항상 1이면 이를 계단 수라고 한다.

문제는 다음과 같다.

길이가 N인 계단 수의 개수를 구하시오.
단 0으로 시작하는 수는 계단 수가 아니다.

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2. 처음 떠올릴 수 있는 방법 (완전 탐색)

처음에는 이런 방식이 떠오를 수 있다.

1자리 숫자 만들기
→ 뒤에 숫자를 붙이기
→ 인접한 자리 차이가 1인지 확인

 

예를 들어

1 → 10, 12
2 → 21, 23
3 → 32, 34

 

이런 식으로 계속 숫자를 만들어 나가는 방식이다.

하지만 이 방식은 문제가 있다.

길이가 최대 100이기 때문에 가능한 경우의 수가 거의 10^100수준이 된다.

즉 완전탐색은 불가능하다.

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3. 핵심 아이디어 (DP)

숫자를 실제로 만들 필요는 없다.

우리가 알고 싶은 것은

"길이가 i일 때 마지막 숫자가 j인 계단 수의 개수"

그래서 다음과 같이 DP를 정의한다.

dp[i][j]는 길이가 i이고 마지막 숫자가 j인 계단 수의 개수

 

예를 들어 dp[3][4]의 의미는 길이가 3이고, 마지막 숫자가 4인 계단 수의 개수이다.

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4. 점화식

계단 수의 특징은 인접한 자리 차이가 1이다.

즉 마지막 숫자가 j라면 이전 숫자는 j-1 또는 j+1뿐이다.

따라서 점화식은 dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + dp[i-1][j+1]이다.

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⚠️ 경계 처리

마지막 숫자가 0

이전 숫자는 1만 가능

dp[i][0] = dp[i-1][1]

 

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마지막 숫자가 9

이전 숫자는 8만 가능

dp[i][9] = dp[i-1][8]

 

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5. 초기값

길이가 1일 때 가능한 계단 수

1 2 3 4 5 6 7 8 9

 

따라서

dp[1][1] = 1
dp[1][2] = 1
...
dp[1][9] = 1

 

하지만

dp[1][0] = 0

 

왜냐하면 0으로 시작할 수 없기 때문이다.

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6. DP 테이블

길이 1

개수

0

1

1

1

1

1

1

1

1

1

총 9

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길이 2

개수

1

1

2

2

2

2

2

2

2

1

총 17

예시 출력과 동일하다.

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7. 구현 코드 (Python)

import sys
input = sys.stdin.readline

n = int(input())
MOD = 1000000000

dp = [[0]*10 for _ in range(n+1)]

# 초기값
for i in range(1,10):
dp[1][i] = 1

# DP
for i in range(2,n+1):

dp[i][0] = dp[i-1][1]
dp[i][9] = dp[i-1][8]

for j in range(1,9):
dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + dp[i-1][j+1]

for j in range(10):
dp[i][j] %= MOD

print(sum(dp[n]) % MOD)

 

 

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8. 시간 복잡도

DP 테이블 크기

100 × 10

 

따라서

O(N × 10)

 

즉 거의 O(N) 수준이다.